"f는 여전히 (x, y)-공간의 함수"라는 말은 표현만 바꾼 경우에만 맞고, 적분을 하면서 좌표계를 바꾸면, 이제는 정의역이 (r, θ)-공간이므로, 면적 단위가 달라지고 → Jacobian이 반드시 필요합니다.

🎯 맥락: 두 가지 상황 비교

1. 함수 자체를 다른 좌표계로 표현 (Representation in new coordinates)

$$ f(x, y) = x^2 + y^2 \quad \Rightarrow \quad f(r, \theta) = r^2 $$

여기서 우리가 하는 건 단순히:

• $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$를 대입한 것
• 표현 방식만 바뀐 것이기 때문에, 함수 f는 그 본질상 여전히 (x, y) 공간에서 정의된 것이라고 말하는 거예요

즉, 아직까지는 "x, y 공간을 쓰되 r, θ를 이용해 말하고 있다"는 거죠.

이럴 땐 Jacobian 필요 없음. 왜냐하면:

• 면적 계산을 하려는 것도 아니고
• 입력공간을 바꾼 것도 아님

2. 입력 공간의 좌표계를 바꾸는 것 (Change of variables)

$$ \iint_D f(x, y) \, dx \, dy \quad \text{→} \quad \iint_{D'} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \cdot r \, dr \, d\theta $$

여기서는 단순히 함수값을 계산하는 게 아니라:

• f(x, y)를 어떤 영역 D에 대해 적분하고 있음
• 그런데 그 영역을 극좌표 (r, \theta) 공간에서 다시 정의하고 있음

이 말은:

• 이제 입력변수가 (x, y)가 아니라 (r, \theta)
• 즉, 함수가 정의된 공간이 바뀐 것 = 정의역이 바뀐 것