확률밀도함수는 치환으로 생기는 측도(measure)의 변화량을 보정하기 위해 변수 변화율의 절댓값, 즉 Jacobian determinant를 곱해줘야 수식적으로 일관성이 유지됩니다.

🎯 목표

치환:

• $X \sim f_X(x)$
• $Y = g(X)$, 가역 함수 (즉, $X = g^{-1}(Y)$ 가능)

그때 **pdf $f_Y(y)$**를 수식적으로 구하고, 왜 Jacobian이 반드시 붙는지를 증명합니다.

🔧 단변량 유도

1. 확률 질량 보존 조건

어떤 구간 $A \subseteq \mathbb{R}$에 대해:

$$ P(Y \in A) = P(X \in g^{-1}(A)) = \int_{g^{-1}(A)} f_X(x) \, dx $$

한편, Y에 대한 확률은:

$$ P(Y \in A) = \int_A f_Y(y) \, dy $$

따라서:

$$ \int_A f_Y(y) \, dy = \int_{g^{-1}(A)} f_X(x) \, dx $$

이 등식을 만족하는 $f_Y(y)$를 찾고 싶음.

2. 변수 치환

우리는 위 오른쪽 적분에서 $x = g^{-1}(y)$로 바꿀 수 있음. 그러면: