📘 정리: 역함수 미분법

함수 y = f(x)가 다음 조건을 만족할 때:

• f는 어떤 점 $x_0$ 근방에서 연속이고 미분 가능
• $f'(x_0) \ne 0$

그때 f의 역함수 $x = f^{-1}(y)는 y_0 = f(x_0)$ 근방에서 존재하며, 역함수 f^{-1}의 도함수는 다음과 같이 주어집니다:

$$ \frac{d}{dy} f^{-1}(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} $$

역함수 미분 = 원래 함수 도함수의 역수

단, 역수 취할 때는 원래 함수의 입력에 역함수를 대입해야 함:

📌 해석

• f가 x에서 얼마나 빨리 변하는지 알면
• 그 역함수 $f^{-1}$는 y에서 그 반비율로 변화한다는 뜻

✅ 예시

$f(x) = e^x \Rightarrow f^{-1}(y) = \ln y$ ⇒ $\frac{d}{dy} \ln y = \frac{1}{(e^x)} = \frac{1}{y}$

→ 여기서 $x = \ln y$, 즉 $f^{-1}(y)$