Jacobian의 행렬식(det)은 넓이(또는 부피) 보정값입니다.

이것은 단순한 공식이 아니라:

• 기하학적 의미: 면적/부피 왜곡율
• 해석학적 의미: 적분값 불변 조건
• 확률론적 의미: 질량 보존 조건

등을 만족시키기 위한 본질적인 수학 도구입니다.

💡 핵심 주장

변수 치환 $\boldsymbol{x} = g(\boldsymbol{u})$에서, Jacobian determinant는 새로운 좌표계에서 미소 구간의 넓이나 부피가 얼마나 늘어났는지를 측정하는 양입니다.

📐 1. 기하학적 해석: 평면 상에서 면적 왜곡

예를 들어 2차원 함수:

(x, y) = g(u, v)

작은 정사각형 $du \times dv$가 (x, y) 좌표계에서는 휘어진 평행사변형으로 매핑됩니다.

이때:

• $\frac{\partial(x, y)}{\partial u}$: u 방향 미분 → 첫 번째 변 벡터
• $\frac{\partial(x, y)}{\partial v}$: v 방향 미분 → 두 번째 변 벡터

이 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이는:

$$ \left| \det \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{bmatrix} \right| = \left| \text{면적 보정 계수} \right| $$

즉, Jacobian determinant는 면적 왜곡 정도를 정확히 측정하는 값입니다.