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연산이 closed라는 것은 “연산을 해도 결과가 항상 같은 집합 안에 남아 있다”는 뜻입니다.

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일반적인 정의

집합 S 위에 이항 연산 $\star : S \times S \to S$가 있을 때,

$$ \forall a,b \in S: \quad a \star b \in S $$

이면, “$\star$ 연산은 S에 대해 닫혀 있다(closed)”라고 합니다.

즉, 집합 안에서 연산을 하면 결과가 항상 같은 집합 안에 머무른다는 뜻이에요.

예시

1. 정수 덧셈:
   • $a,b \in \mathbb{Z}$이면 $a+b \in \mathbb{Z}$.
   • 따라서 정수 집합은 덧셈에 대해 닫혀 있음.
2. 자연수 뺄셈:
   • $a,b \in \mathbb{N}$이면 a-b는 항상 자연수일까요?
   • 아니죠. 예를 들어 2-3 = -1은 자연수가 아님.
   • 따라서 자연수 집합은 뺄셈에 대해 닫혀 있지 않음.
3. 행렬 곱셈:
   • $n \times n$ 행렬끼리 곱하면 결과도 $n \times n$ 행렬.
   • 따라서 행렬곱은 그 집합 위에서 닫혀 있음.

확장된 의미

• 위상수학: 집합 A의 closure는 “주어진 위상에서 닫힌 집합”을 의미. (조금 다른 맥락이지만, 닫힘 성질과 관련 있음)
• 추상대수학: 군(group), 환(ring), 체(field) 등의 공리에서 항상 “연산이 닫혀 있음(closed under operation)” 조건이 들어감.

군(Group)의 공리와 연결시키기

1. 군의 직관

군은 “하나의 집합”과 “그 집합 원소끼리 하는 연산”이 잘 어울려서, 항상 집합 안에서 연산 결과가 나오고, 되돌릴 수 있는 연산까지 보장되는 구조이다.

즉, 연산이 잘 닫혀 있고, 항등원과 역원이 있어서 “마음대로 계산했다가 되돌릴 수 있는 집합이다.