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A Galois connection $(C, \leq) \xtofrom[\alpha]{\gamma} (A, \sqsubseteq)$ is a Galois embedding if any of the following, equivalent properties hold:

1. α is surjective(전사): $∀a ∈ A: ∃c ∈ C: α(c) = a$;
2. γ is injective(단사): $∀a, a' ∈ A: γ(a) = γ(a') \implies a = a'$;
3. $α \circ γ = id$. </aside>

(3) ⇒ (1), (2)

(3) $\alpha\circ\gamma = id_A$ 라고 하자.

• 전사성: 임의의 $a\in A$에 대해 $a=\alpha(\gamma(a))$. 따라서 $c=\gamma(a)\in C$가 존재해 $\alpha(c)=a$. 즉 $\alpha$는 전사. (1) 증명 끝.
• 단사성: $\gamma(a)=\gamma(a')$이면 양변에 $\alpha$를 합성해서 $\alpha(\gamma(a))=\alpha(\gamma(a'))$, 곧 $a=a'$. 즉 $\gamma$는 단사. (2) 증명 끝.

(1) ⇒ (3)

(1) $\alpha$ 전사라고 하자. 갈루아 연결이므로 $\alpha\circ\gamma$는 항상 reductive: $\alpha(\gamma(a)) \sqsubseteq a$.

반대 부등식 $a \sqsubseteq \alpha(\gamma(a))$를 보이자. 전사성으로 임의의 $a\in A$에 대해 어떤 $c\in C$가 있어 $\alpha(c)=a$.

이때 extensive로 $c \le \gamma(\alpha(c))=\gamma(a)$.

양변에 $\alpha$를 적용하면(단조성) $\alpha(c) \sqsubseteq \alpha(\gamma(a))$, 즉 $a \sqsubseteq \alpha(\gamma(a))$.

따라서 $\alpha(\gamma(a)) \sqsubseteq a$와 $a \sqsubseteq \alpha(\gamma(a))$가 함께 성립하므로 $\alpha\circ\gamma = id_A$. (3) 증명 끝.

(2) ⇒ (3)

(2) $\gamma$가 단사라고 하자. 갈루아 연결에서

• $id_C \le \gamma\circ\alpha$ (extensive),
• $\alpha\circ\gamma \sqsubseteq id_A$ (reductive).

임의의 $a\in A$에 대해, $c=\gamma(a)$라 두면 $\gamma(a) \le \gamma(\alpha(\gamma(a)))$ (extensive를 $c=\gamma(a)$에 적용).

또한 $\alpha(\gamma(a)) \sqsubseteq a$ (reductive)이므로 양변에 $\gamma$를 적용해 $\gamma(\alpha(\gamma(a))) \le \gamma(a)$.

결국 $\gamma(a) \le \gamma(\alpha(\gamma(a))) \le \gamma(a)$ 이므로 $\gamma(\alpha(\gamma(a)))=\gamma(a)$.