다음이 가정이다: ($α,γ)$가 갈루아 연결이며

$$ \forall c\in C,\;a\in A:\quad α(c)\;\sqsubseteq\;a\;\;\Longleftrightarrow\;\; c\;\le\;γ(a). $$

이 “전치(transport) 법칙”만으로 두 식의 동치성을 보인다.

목표

$$ F\circγ\;\sqsubseteq\;γ\circ\widehat F \quad\Longleftrightarrow\quad α\circ F\;\sqsubseteq\;\widehat F\circα . $$

여기서 $\sqsubseteq$는 점별(pointwise) 순서다. 예컨대 $F\circγ\sqsubseteqγ\circ\widehat F$는

$$ \forall a\in A:\quad F(γ(a))\;\le\;γ(\widehat F(a)) $$

을 뜻한다.

($\Rightarrow$) 방향

가정: $\forall a,\;F(γ(a))\le γ(\widehat F(a))$.

임의의 $c\in C$에 대해, $α(F(c))\sqsubseteq(\widehat F\circα)(c)$를 보이면 된다. 임의의 $a\in A$를 잡고, 다음 두 명제가 동치임을 이용해 상계로 특성화한다:

$$ α(F(c))\;\sqsubseteq\;a \;\;\Longleftrightarrow\;\; F(c)\;\le\;γ(a) \quad(\text{갈루아 전치}). $$

가정에서 $F(γ(α(c)))\le γ(\widehat F(α(c)))$. 그리고 $c\leγ(α(c))$ (삼각등식: $γ\circα$의 확대성)과 F의 단조성으로

$$ F(c)\;\le\;F(γ(α(c)))\;\le\;γ(\widehat F(α(c))). $$

따라서 $F(c)\le γ(a)$가 성립하려면 a가 $\widehat F(α(c))$의 상계이면 충분하다. 즉

$$ α(F(c))\sqsubseteq a\quad\text{이면 충분조건으로}\quad \widehat F(α(c))\sqsubseteq a. $$

상계에 대한 보편성으로 $α(F(c))\sqsubseteq \widehat F(α(c))$. 즉

$$ α\circ F\;\sqsubseteq\;\widehat F\circα . $$