| 표현 | 의미 |
|---|---|
| $P(X \in A \mid Y = y)$ | $Y = y$일 때 $X \in A$의 조건부 확률 (0~1 사이의 수) |
| 정의 | $\int_A f_{X |
| 전체 확률과의 관계 | $P(X \in A) = \mathbb{E}_Y\left[ P(X \in A \mid Y) \right]$ |
| 결합 확률과의 관계 | $P(X \in A, Y \in B) = \int_B P(X \in A \mid Y = y) \cdot f_Y(y)\, dy$ |
$$ P(X \in A \mid Y = y) := \int_A f_{X|Y}(x \mid y)\, dx $$
조건부 확률을 평균 내면 전체 확률이 됨. 즉,
$$ P(X \in A) = \mathbb{E}_Y\left[ P(X \in A \mid Y) \right] $$
또는 적분 형태로는:
$$ P(X \in A) = \int_{-\infty}^\infty \left( \int_A f_{X|Y}(x \mid y)\, dx \right) f_Y(y)\, dy $$
→ 이는 연속형 확률변수에 대한 **전체 확률의 법칙 (Law of Total Probability)**임.
조건부 확률은 결합 확률을 다음과 같이 표현하는 데 사용됨:
$$ P(X \in A, Y \in B) = \int_B P(X \in A \mid Y = y) \cdot f_Y(y)\, dy $$