null recurrent 상태는 다음 두 조건을 모두 만족하는 상태야:

1. $f_i = 1$ — 반드시 언젠가 다시 돌아오지만,
2. $\mathbb{E}_i[T_i] = \infty$ — 기대 복귀 시간은 무한대

즉, 반드시 돌아오긴 하지만 너무 오래 걸림.

✅ 대표적인 예시: 단순 대칭 랜덤 워크 on ℤ

설명

무한한 직선 위에서의 랜덤 워크:

• 상태 공간: $\mathbb{Z} = \{ ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... \}$
• 전이 확률:
  • $P(i \to i+1) = 0.5$
  • $P(i \to i-1) = 0.5$

즉, 한 스텝마다 50% 확률로 왼쪽이나 오른쪽으로 이동함.

📌 왜 null recurrent인가?

• 상태 0에서 시작했을 때,
  • $f_0 = 1$: 반드시 언젠가 다시 0으로 돌아옴 (재귀적)
  • 하지만 $\mathbb{E}_0[T_0] = \infty$: 돌아오는 데 걸리는 평균 시간은 무한대 → $0$은 null recurrent

이건 실제로 수학적으로 증명된 고전적인 결과야.

1차원 대칭 랜덤 워크는 recurrent이지만, 기대 복귀 시간은 무한이기 때문이야.

📈 요약: 1차원 랜덤 워크 상태들의 분류