증명 개요

1. 행-합 1 ⇒ 1은 P의 고유값

   $$ P\mathbf{1} = \mathbf{1}, $$

   여기서 $\mathbf{1}=(1,1,\dots,1)^T$이므로, $\lambda=1$이 $P$의 고유값임을 보입니다.

2. 전치행렬과 고유값

   일반적으로 어떤 행렬 A의 고유값들은 $A^T$와 동일합니다.

   따라서

   $$ \operatorname{spec}(P^T) = \operatorname{spec}(P) \;\Longrightarrow\; 1 \in \operatorname{spec}(P^T). $$

3. 우측 고유벡터 존재

   고유값 1에 대응하는 고유벡터 $\pi$가 $P^T\pi=\pi$를 만족하며, 영벡터가 아닌 해가 반드시 존재합니다.

요약

• 항상 성립: 유한 차원 행렬에서 “행 합이 1이면 1은 고유값”이며, 전치해도 고유값은 바뀌지 않으므로

  $$ P^T\pi=\pi $$

  를 만족하는 (영벡터가 아닌) $\pi$가 언제나 존재합니다.

• 주의: 이 $\pi$가 확률벡터($\pi_i\ge0$, $\sum_i\pi_i=1$)가 되려면 추가로 irreducibility·positive recurrence 같은 조건이 필요합니다.