아래에서 “정상분포(stationary distribution)”의 존재와 “P^T에 고유값 1의 우측 고유벡터가 존재함”이 서로 필요·충분 조건임을 보인다.

$$ \exists\ \text{stationary distribution }\boldsymbolπ \quad\Longleftrightarrow\quad \exists\ \mathbf v\neq0\ \text{s.t.}\ P^T\mathbf v=\mathbf v $$

1. 정의 정리

• 전이행렬 $P=(p_{ij})$는 $\sum_j p_{ij}=1$인 $n\times n$ 행렬.
• 정상분포 $\boldsymbolπ=(π_1,\dots,π_n)$는
  1. $π_i\ge0, \sum_iπ_i=1$
  2. $\boldsymbolπ = \boldsymbolπ P$

2. $\;\boldsymbolπ$가 존재 ⇒ $P^T$에 λ=1 우측 고유벡터 존재

$$ \boldsymbolπ = \boldsymbolπ P \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbolπ^T = P^T \boldsymbolπ^T $$

즉, $\boldsymbolπ^T\neq\boldsymbol0$이면서 $P^T\boldsymbolπ^T=\boldsymbolπ^T$이므로 $\boldsymbolπ^T$가 고유값 1의 우측 고유벡터이다.

3. $P^T$에 λ=1 우측 고유벡터 존재 ⇒ 정상분포 $\boldsymbolπ$ 존재

1. 가정: $\exists\,\mathbf v\neq\mathbf0$ such that

   $$ P^T\,\mathbf v = \mathbf v. $$

2. 양변 전치하면

   $$ \mathbf v^T P = \mathbf v^T, $$

   즉 $\mathbf v^T$도 고유값 1의 좌측 고유벡터이므로 $\mathbf v^T P = \mathbf v^T$ 이다.

3. $\mathbf v$의 성분 합 $S=\sum_i v_i\neq0$라 하면

   $$ \boldsymbolπ \;=\;\frac{1}{S}\,\mathbf v^T $$

   로 정의했을 때

   $$ \sum_iπ_i=1,\quad \boldsymbolπ P = \frac{1}{S}\,\mathbf v^T P = \frac{1}{S}\,\mathbf v^T = \boldsymbolπ. $$

   또, (irreducible 등의 추가 가정 하에) Perron–Frobenius 정리에 의해 $\mathbf v>0$로 취할 수 있으므로

   $π_i\ge0$도 만족한다.