📘 Stationary vs Limiting Distribution

구분 Stationary Distribution Limiting Distribution
정의 확률 벡터 π가 $P^T π = π$ 를 만족 $P^n(i, j)$이 $π_j$로 수렴
수학적 조건 $π = π P, \sum π_i = 1$ $\lim_{n \to \infty} P^n(i, j) = π_j ∀ i$
의미 한 번 도달하면 더 이상 분포가 바뀌지 않음 시간이 무한히 흐르면 이 분포로 수렴
존재 조건 Irreducible + Positive recurrent이면 존재 Ergodic (Irreducible + Aperiodic + Positive recurrent)일 때 존재
관계 모든 limiting distribution은 stationary임 역은 성립하지 않음

🔁 관계 정리

✅ 조건별 예시 및 반례

1. 둘 다 존재하고 같음 (Ergodic)

조건: Irreducible, Aperiodic, Positive recurrent (즉 Ergodic)

예시:

   P = [[0.5, 0.5],
        [0.5, 0.5]]

✅ Stationary distribution 존재: π = [0.5, 0.5]

✅ Limiting distribution도 존재하고 동일: $\lim_{n\to\infty} P^n(i,j) = 0.5$

2. Stationary는 존재하나 Limiting은 없음 (Periodic)

조건: Irreducible, Positive recurrent, 하지만 periodic