Continuous-Time Markov Chain (CTMC)에서 rate matrix Q의 한 행의 합이 0이 되도록 설정하는 이유는 다음과 같습니다.

정의 요약

CTMC의 translation rate matrix $Q = [q_{ij}]$는 다음을 만족합니다:

• $q_{ij} \ge 0 for i \ne j$ (i → j로 전이할 단위시간당 평균 비율)
• $q_{ii} = -\sum_{j \ne i} q_{ij}$ (자기 자신으로의 "잔류율"은 음수)

즉, 각 행의 합은 항상 0이다:

$$ \sum_{j} q_{ij} = 0 $$

왜 행의 합이 0이어야 하는가?

1. 확률보존 (Probability Conservation)

CTMC는 각 상태에서 단위시간 동안 어떤 상태로든 "전이할 비율"이 정해져 있습니다. 이 비율을 기반으로 확률이 시간에 따라 어떻게 변하는지를 나타내는 식이 바로 Kolmogorov forward equation입니다:

$$ \frac{d}{dt} \boldsymbol{p}(t) = \boldsymbol{p}(t) Q $$

여기서 $\boldsymbol{p}(t)$는 상태 분포 벡터입니다.

이때 확률은 항상 전체 합이 1이어야 하므로,

$$ \sum_{j} \frac{dp_j(t)}{dt} = 0 $$

이걸 만족시키려면 Q의 각 행의 합이 0이어야 합니다.

2. 잔류확률(Stay Probability)의 해석

상태 i에 있는 시스템이 **어떤 상태로든 이동할 확률은 단위 시간당 $\sum_{j \ne i} q_{ij}$**입니다. 이걸 $q_i$라고 할 때,

• 상태 i에 계속 있을 확률은 지수분포 $\text{Exp}(q_i)$에 따라 감소