좋습니다. 이제 CTMC에서의 jump 확률 $P_{ij}$ = P(X jumps to j ∣ leaves i) 와 전이확률 행렬의 원소 $P(t)_{ij} = P(X(t) = j ∣ X(0) = i)$ 사이의 관계를 명확히 해보겠습니다.

정의 복습

1. $P(t)_{ij}$: 시간 0에서 상태 i에 있다가, 시간 t에 상태 j에 있을 확률.

   → "시간 t 동안에 i에서 j로 갈 확률".

2. $P_{ij}$ = P(X jumps to j ∣ leaves i): 다음 jump가 j로 가는 확률, 즉 상태 i를 처음 떠났을 때 j로 이동할 확률.

관계 설명

CTMC에서 상태 i를 떠날 확률은 다음과 같은 exponential distribution에 따릅니다:

$T_i ∼ Exp(q_i)$, $q_i = \sum_{j ≠ i} q_{ij}$.

이때 상태 i를 떠나 j로 jump할 확률은 아래와 같이 정의됩니다:

$P_{ij} = \frac{q_{ij}}{q_i}$.

한편, **$P(t)_{ij}$**는 시간 t 동안 여러 번의 jump를 포함할 수도 있는 전체 경로에 대한 누적 확률입니다. 즉:

• $P(t)_{ij}$는 i에서 출발해서 t 시점에 j에 있는 확률이며,

• 이는 직접 한 번만에 i → j로 jump한 경우뿐 아니라,

  i → k₁ → k₂ → ... → j 같은 여러 상태를 거치는 경로도 포함합니다.

핵심 관계 정리

1. P_{ij}는 Q행렬을 통해 정의된 즉시 전이 비율의 정규화:

$$ P_{ij} = \frac{q_{ij}}{\sum_{k ≠ i} q_{ik}} = \frac{q_{ij}}{q_i} $$

2. P(t)_{ij}는 Q로부터 유도된 행렬 지수 함수의 원소:

$$ P(t) = e^{Qt} ⟹ P(t){ij} = \left[e^{Qt}\right]{ij} $$