🔖 Rate of Leaving State $q_i$

CTMC에서 상태 i에 머무는 시간 $T_i$가 지수분포 $\text{Exp}(q_i)$를 따른다는 말은, 상태 i에서 다른 상태로 처음 이탈하기까지의 시간이 평균 $1/q_i$인 지수분포를 따른다는 의미입니다. 여기서 $q_i$ 는 다음과 같은 의미를 가집니다:

✅ $q_i$의 의미:

• 상태 i에서 이탈(rate of leaving state i)하는 비율

• 다시 말해, 상태 i에 있을 때, 단위 시간당 어떤 다른 상태로 전이할 확률의 총합

• $q_i = \sum_{j \ne i} q_{ij}$

  여기서 $q_{ij}$는 상태 $i \rightarrow j$로의 전이 비율(transition rate)입니다.

🔁 다시 말하면:

• CTMC는 Markov Property를 가지므로, 현재 상태만으로 미래가 결정됩니다.
• 상태 i에 머무는 시간은 memoryless한 분포, 즉 지수분포를 따릅니다.
• 이때 지수분포의 rate $q_i$ 는 상태 i에서 언젠가 나가게 될 "속도"입니다.
• 이 rate는 상태 i에서 가능한 모든 다른 상태 j로 나가는 전이율 $q_{ij}$들의 총합입니다.

📌 예시

만약 상태 i에서 상태 1, 2로 각각 $q_{i1} = 2$, $q_{i2} = 3$

$\therefore q_i = q_{i1} + q_{i2} = 5$

즉, 상태 i에 머무는 시간은 평균 1/5인 지수분포를 따르고, 상태 i에 있는 동안 단위 시간당 다른 상태로 나갈 확률은 5입니다.

🔖 Transition Rate $q_{ij}$