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CTMC의 경우, **극한 분포(steady-state, limiting distribution)**의 존재와 유일성은 aperiodicity와 무관하다.

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Irreducible하고 positive recurrent하다면, 모든 시작 상태 i에 대해 Pj = limₜ→∞ Pij(t)의 극한이 존재하고, i에 무관하게 유일한 stationary distribution π가 존재한다.

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논리적 설명

1. DTMC와 CTMC의 구조적 차이

• DTMC에서는 periodicity가 chain의 한 상태로 돌아오는 가능한 시점들의 간격(주기) 때문에,

  aperiodic하지 않으면 limₙ→∞ Pij⁽ⁿ⁾

  이 존재하지 않거나 진동할 수 있다.

• CTMC는 아무 때나(임의의 t > 0) 천이 가능하다. 즉,

  정확히 t 단위 시간에만 상태 변화가 일어나는 것이 아니므로,

  periodicity의 개념 자체가 무의미하다.

2. 수식적 직관

• CTMC의 **Q-행렬(생성자 행렬)**에는 각 상태에서 다른 상태로 임의의 시간 간격으로 전이할 확률이 들어가 있다.

• Q-행렬 기반의 Kolmogorov forward equation(전방 방정식)을 풀면,

  long-run proportion of time in state j = π_j,

  이는 주기성과 관계없이 극한 분포로 수렴한다.

3. 수렴 메커니즘의 차이

• DTMC: 상태 i에서 시작해도, 도달 가능한 시간이 특정 배수여서 수렴에 문제가 생길 수 있다.
• CTMC: 임의의 t > 0에서 언제든 상태 변화가 가능. 따라서 "특정 시간에서만 도달" 같은 현상이 없어지고, 모든 상태에서 stationary distribution으로 수렴하게 된다.

결론

CTMC는 aperiodicity를 가정하지 않아도 irreducible + positive recurrent이면 limiting distribution이 항상 존재한다.

이유는, 연속 시간에서는 임의의 시점에 상태 변화가 일어나므로, 주기성으로 인한 진동 현상이 구조적으로 발생하지 않기 때문이다.

따라서 steady-state를 보장하기 위해서는 irreducibility와 positive recurrence만을 체크하면 된다.