6.2.1 Statistical Basis of the Charts
관리도에서 CL 구할 때 추정하는 모수는 관리통계량의 평균과 분산이지만, Variable 관리도를 통해 궁극적으로 알고 싶은 건 quality characteristic의 분포의 평균과 분산이긴 하다.
$\overline{x}$ chart로 quality characteristic 평균의 변동성을, $R$이나 $s$ chart로 quality characteristic 분산의 변동성을 추적한다.
Phase I에서 $w$ 관리도 Control Limits 설계 방법
관리통계량 $w$가 평균이 $\mu_w$이고 표준편차가 $\sigma_w$인 분포를 따른다고 하자.
three-sigma Control Limit일 때(z-분포에서 유의수준 $\alpha \approx 0.002$), $1-\alpha$ 확률로 $w$가 속하는 구간은 $[\mu_w - 3 \sigma_w, \mu_w + 3 \sigma_w]$이다.
구간에 포함된 paramter $\mu_w$, $\sigma_w$를 각각 점추정한다. parameter마다 다른 estimator가 사용될 수 있다.
- estimator는 추정하는 paremter에 대해 unbiased 해야 한다. ($E(\hat{\mu_w}) = \mu_w$, $E(\hat{\sigma_w}) = \sigma_w$)
- 한 paramter에 대한 여러 unbiased estimator가 있다면, 분산이 최소인 estimator를 선택한다.
- estimator는 sample의 개수 $m$을 포함하지 않는 게 좋다.
관리도의 Control Limit에 사용된 추정량 정리
parameter (→ paramter) → estimator
$\overline{x}$ and $R$ Chart
$\overline{X}$
- $\mu_{\overline{X}}$ → $\overline{\overline{X}}$
- $\sigma_{\overline{X}}$ → $\sigma_{X}$ → $\frac{\overline{R}}{d_2}$
$R$
- $\mu_R$ → $\overline{R}$
- $\sigma_R$ → $\sigma_{X}$ → $\frac{\overline{R}}{d_2}$
$\overline{x}$ and $s$ Chart
$\overline{X}$
- $\mu_{\overline{X}}$ → $\overline{\overline{X}}$
- $\sigma_{\overline{X}}$ → $\sigma_{X}$ → $\frac{\overline{S}}{C_4}$
$S$
- $\mu_S$ → $\overline{S}$
- $\sigma_S$ → $\sigma_{X}$ → $\frac{\overline{S}}{C_4}$
$p$ Chart
$\hat{p}$