A quality characteristic that is measured on a numerical scale is called a variable.
변량인 품질 특성을 다룰 때는 일반적으로 품질 특성의 평균값과 그 변동성을 모두 모니터링해야 합니다. 과정 평균 또는 평균 품질 수준의 제어는 보통 평균을 위한 관리도표로 이루어지며, 변동성은 표준 편차를 위한 관리도표인 s 관리도표나 범위를 위한 관리도표인 R 관리도표로 모니터링됩니다. R 관리도표가 더 널리 사용됩니다. 일반적으로 관심 있는 각 품질 특성에 대해 별도의 $\bar{x}$ and R 차트가 유지됩니다.
It is important to maintain control over both the process mean and process variability.
우리는 방금 품질 특성의 분포가 정규 분포라고 가정했습니다. 그러나 위 결과는 기본 분포가 비정규 분포일지라도 중앙극한정리에 의해 대체로 올바릅니다.
실제로 우리는 일반적으로 μ와 s를 알지 못합니다. 따라서 이러한 값들은 프로세스가 제어되는 것이 생각될 때 얻은 예비 샘플이나 하위 그룹에서 추정해야 합니다. 이러한 추정치들은 일반적으로 최소 20에서 25개의 샘플을 기반으로 해야 합니다. 가령 m 샘플이 있으며 각각의 샘플이 품질 특성에 대한 n개의 관측치를 포함하고 있다고 가정합시다. 일반적으로 n은 작으며, 보통 4, 5 또는 6입니다. 이러한 작은 샘플 크기는 합리적인 하위 그룹 구성이나 변수 측정과 관련된 샘플링 및 검사 비용이 통상적으로 상대적으로 크기 때문에 발생합니다.
$\bar{\bar{x}}$가 μ의 훌륭한(unbaised & min Var) 추정량이기 때문에, $\bar{x}$의 Control Limits에 쓰인 μ에 그 추정치를 대입한다. 한편 Center Line은 정의에 따라 quality characteristic의 평균 μ이므로, 그 추정치 $\bar{\bar{x}}$를 Center Line으로 삼는다. $\bar{x}$의 Control Limits에 쓰인 $\sigma_{\bar{x}}$의 unbiased 추정량 $\frac{\bar{R}}{d_2}$를 대입한다. ($\bar{R}$: average range)
[참고] z-검정의 경우, 최종적으로 알고 싶은 모수는 $\mu_X$이나, $\mu_{\overline{X}}$이 그것과 같으므로 $\mu_{\overline{X}}$를 대신 추정한다(가정한다). 분포를 알고 있는 통계량 $\overline{X}$과 알아 내려는 (귀무가설에서 가정한) 그 분포의 모수 $\mu_{\overline{X}}$로 구성된 검정통계량을 수립한다. 검정통계량에 포함된 또다른 미지의 모수 $\sigma_X$는 $\sigma_X$에 대한 추정치($s$)를 대신 대입한다.
[참고] 가설검정의 검정통계량은 추정량의 분포를 기반으로 구성한다. 분포에 대개 모수가 포함되어 있으므로, 검정통계량은 모수를 포함한다. 이때 검정통계량 계산 시 각 모수는 (1) 귀무가설에서 가정한 모수의 값 (2) 알려진 모수의 값 (3) 모르는 모수에 대한 추정치로 채운다.
[참고] Phase I에서 구하는 Control Limit의 식은, 신뢰구간과 비교하여 통계량 및 모수의 위치가 정반대이다. Control Limit은 $\overline{x}$ 값의 범위를 구하는 거지만, 구간추정은 모르는 모수에 대한 범위를 구하기 때문이다.
관리도 Phase I에서 Control Limits에 포함된 모수 $\mu$는 그에 대한 추정치를 가져와 대입한다. 관리도 Phase II에서 가설검정 시 귀무가설은 $\mu$ = Center Line = $\hat{\mu}$ (in Phase I)으로 설정된다.
[참고] z-검정
- unknown parameter: $\mu_X$ = $\mu_{\overline{X}}$
- estimator: $\overline{X}$
- estimated parameters
- $\mu_{\overline{X}}$ → 귀무가설에서 $\mu_0$로 가정
- $\sigma_{X}$ → $S_{X}$로 점추정
quality characteristic $X$는 normal distribution(정규 분포)를 따른다고 가정한다. (평균 $\mu$, 분산 $\sigma^2$)