✅ 핵심 결론

카이제곱 분포는 정규분포의 독립이고 직교인 성분들의 제곱합으로 정의됩니다. 즉, 직교공간 상의 정규 성분들의 제곱합 → 카이제곱 분포를 따릅니다.

🎯 예제 상황

$$ X_1, X_2, \dots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) $$

이때:

• 전체 관측치 벡터: $\mathbf{X} \in \mathbb{R}^n$
• 평균 벡터: $\bar{X} \cdot \mathbf{1}$
• 중심화 벡터: $\mathbf{X} - \bar{X}\mathbf{1}$

이 중심화 벡터는 $\mathbf{1}$ 방향에 수직이므로 $\mathbf{1}^\perp$ (직교공간)에 존재합니다.

✅ 왜 직교공간이 중요한가?

정규분포에서,

$$ \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X} + \bar{X} - \mu)^2 $$

이것을 분해하면 다음과 같은 피타고라스의 정리 같은 분산 분해식이 나옵니다:

$$ \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 + n(\bar{X} - \mu)^2 $$

이는 정규벡터 $\mathbf{X} - \mu\mathbf{1}$가 두 개의 직교 성분으로 분해되었기 때문입니다:

1. 평균 방향 성분: $\bar{X} - \mu$
2. 중심화 성분: $X_i - \bar{X}$

이 두 성분은 직교하며, 따라서 제곱합이 직교 성분들의 제곱합이 됩니다.