✅ 1. 카이제곱 분포는 감마 분포의 특수한 경우이다

• 카이제곱 분포 $\chi^2_k$는 감마 분포 $\mathrm{Gamma}(\alpha, \theta)$ 중에서 다음과 같은 경우입니다:

$$ \chi^2_k \sim \mathrm{Gamma}\left(\alpha = \frac{k}{2}, \theta = 2\right) $$

✅ 2. 독립인 카이제곱 분포의 합은 감마 분포가 된다

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카이제곱 분포의 합은 감마 분포가 되며, 그 scale 파라미터는 여전히 2로 유지되고, shape 파라미터는 자유도의 합의 절반입니다.

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🔹 성질: 감마분포의 덧셈 성질

$$ \text{If } X_1 \sim \mathrm{Gamma}(\alpha_1, \theta), \quad X_2 \sim \mathrm{Gamma}(\alpha_2, \theta), \quad \text{and } X_1 \perp X_2 \Rightarrow X_1 + X_2 \sim \mathrm{Gamma}(\alpha_1 + \alpha_2, \theta) $$

즉, scale 파라미터 $\theta$가 같고 독립이면, 감마 분포는 덧셈이 보존됩니다.

🔹 적용: 여러 카이제곱 분포의 합

서로 독립이고 자유도가 $k_1, k_2, \dots, k_r$인 $r$개의 카이제곱 분포가 있을 때:

$$ \chi^2_{k_1} + \chi^2_{k_2} + \cdots + \chi^2_{k_r} \sim \chi^2_{k_1 + k_2 + \cdots + k_r} $$

이는 곧 다음과 같은 감마 분포입니다:

$$ \sim \mathrm{Gamma}\left(\frac{k_1 + \cdots + k_r}{2}, 2\right) $$

📌 요약