카이제곱 분포 (Chi-Square Distribution)

정의

카이제곱 분포는 표준 정규분포를 따르는 독립적인 확률변수들의 제곱합으로 정의되는 확률분포입니다. 자유도 k에 대한 카이제곱 분포는 다음과 같이 정의됩니다:

정규분포를 따르는 독립 확률변수 Z₁, Z₂, ..., Zₖ에 대해 Zᵢ ∼ N(0, 1) 이고 서로 독립일 때,

카이제곱 분포 χ²ₖ는 다음과 같은 형태로 주어집니다:

$$ χ²ₖ = Z₁² + Z₂² + ⋯ + Zₖ² $$

이는 자유도 k인 카이제곱 분포를 따릅니다.

확률밀도함수 (PDF)

자유도 k에 대한 카이제곱 분포의 확률밀도함수는 다음과 같습니다:

$$ f(x) = \frac{1}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} x^{(k/2) - 1} e^{-x/2}, x > 0 $$

• Γ는 감마 함수
• k는 자유도
• x는 확률변수의 값

성질

1. 기댓값: E[X] = k
2. 분산: Var(X) = 2k
3. 비대칭성: 오른쪽으로 꼬리가 긴 분포 (비대칭), 자유도가 커질수록 정규분포와 유사
4. 자유도 합성 가능: 두 개의 독립적인 χ²ₖ₁, χ²ₖ₂ 변수가 있을 때, $χ²ₖ₁ + χ²ₖ₂ ∼ χ²ₖ₁₊ₖ₂$