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단조 증가 + 상계 ⇒ 수렴 (극한 존재, 적분 교환 가능) 단조(monotone) + 완비성(completeness) ⇒ 수렴

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https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem#Convergence_of_a_monotone_sequence_of_real_numbers

https://byjus.com/maths/monotone-convergence-theorem/

1. 단조 수렴 정리 (Monotone Convergence Theorem, MCT)

**Monotone Convergence Theorem(MCT)**는 단조 증가(또는 감소)하는 수열이 어떤 상한(또는 하한)이 존재할 때 그 극한에 수렴한다는 원리다.

• 단조(monotone) + 완비성(completeness) → 수렴
• 수열, 함수열, 순서사슬 등에서 모두 같은 원리로 적용
• 적분/고정점 이론에서 연산 교환, 극한 존재성의 핵심 근거

활용

• 수열의 극한 판정 (실해석)
• 측도론의 적분 교환 (Lebesgue MCT)
• 고정점 이론 (순서론, CPO)
• 컴퓨터 과학: 점근적 분석, 데이터플로우 해석 등

종류별 설명

a. 실수 집합에서

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단조 증가 수열 {aₙ}이 상계(bounded above)라면, 극한 limₙ→∞ aₙ = sup { aₙ | n ∈ ℕ }

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단조 감소 수열 {bₙ}이 하계(bounded below)라면, 극한 limₙ→∞ bₙ = inf { bₙ | n ∈ ℕ }