CUSUM Chart는 Phase 2에서 발생하는 미세 변동을 감지하기 위한 용도이다.
Ci
5, 6, 7장에서는 기본적인 SPC 방법에 중점을 두었습니다. 이 장에서 다룬 제어 차트는 주로 쉐와르트 제어 차트입니다. 이러한 차트는 SPC의 1단계 구현에서 매우 유용하며, 이 단계에서는 과정이 통제되지 않거나 모니터링되는 매개변수에 큰 변화를 초래하는 할당 가능 원인이 발생할 가능성이 높습니다. 쉐와르트 차트는 통계적 제어로 다루기 어려운 과정을 진단하는 데에도 매우 유용하며, 이러한 차트의 패턴은 할당 가능 원인의 성격에 대한 지침을 제공하는 경우가 많습니다.
쉐와르트 제어 차트의 주요 단점은 마지막 샘플 관측값에 포함된 공정에 대한 정보만을 사용하고, 전체 포인트 시퀀스에서 제공된 정보를 무시한다는 점입니다. 이 특성은 쉐와르트 제어 차트가 작은 공정 변화, 예를 들어 약 1.5σ 이하의 변화에 상대적으로 민감하지 않게 만듭니다. 이로 인해 쉐와르트 제어 차트는 2단계 모니터링 문제에서 덜 유용할 수 있는데, 이 단계에서는 공정이 통제되고, 공정 매개변수(평균 및 표준 편차 등)에 대한 신뢰할 수 있는 추정치가 제공되며, 할당 가능 원인이 일반적으로 큰 공정 중단이나 교란을 초래하지 않기 때문입니다. 물론 경고 한계 및 기타 감지 규칙과 같은 다른 기준을 2단계에서 적용하여 쉐와르트 제어 차트의 작은 변화에 대한 성능을 개선할 수 있지만, 이러한 절차를 사용하면 쉐와르트 제어 차트의 간단함과 해석 용이성이 떨어지며, 이전에 언급한 바와 같이, 공정이 실제로 통제된 상태일 때 차트의 평균 실행 길이를 극적으로 줄입니다. 이는 2단계 공정 모니터링에서 매우 바람직하지 않을 수 있습니다.
작은 공정 변화가 관심사일 때 쉐와르트 제어 차트의 두 가지 매우 효과적인 대안으로 누적 합(CUSUM) 제어 차트와 지수 가중 이동 평균(EWMA) 제어 차트를 사용할 수 있습니다. CUSUM 및 EWMA 제어 차트는 2단계 공정 모니터링 상황에서 쉐와르트 제어 차트에 대한 훌륭한 대안입니다. CUSUM과 EWMA 제어 차트는 집합적으로 시간 가중 제어 차트라고 불리기도 합니다. 이 장에서는 이러한 제어 차트에 대해 다룹니다.
평균에 대한 Shewhart 차트는 변화의 크기가 1.5s에서 2s 이상일 때 매우 효과적입니다. 더 작은 변화의 경우, 그다지 효과적이지 않습니다. 누적 합(CUSUM) 관리 차트는 작은 변화가 중요한 경우 좋은 대안입니다.
CUSUM 차트는 목표 값에서 샘플 값의 편차의 누적 합을 plot 함으로써 샘플 값 연속의 모든 정보를 직접 통합합니다. 예를 들어, 크기가 n≥1인 샘플이 수집되어 있으며, $\bar{x}_j$는 j번째 샘플의 평균이라고 가정합시다. 그러면 프로세스 평균의 목표값을 μ0라 하면, 누적 합 관리 차트는 다음과 같이 형성됩니다.
$$ C_i = \sum_{j=1}^{i}(\overline{x}_j - \mu_0) $$
여기서 Ci는 i번째 샘플까지의 누적 합입니다. 여러(several) 샘플에서 정보를 결합하기 때문에, 누적 합 차트는 작은 프로세스 변화를 감지하는 데 있어 Shewhart 차트보다 더 효과적입니다. 게다가 크기가 n=1인 샘플에서 특히 효과적입니다.
프로세스가 목표 값 m0에서 제어 상태로 유지되는 경우, 방정식 (9.1)에서 정의된 누적 합은 평균이 0인 랜덤 워크입니다. 그러나 평균이 m0보다 큰 값 m1로 위쪽으로 이동하면, 누적 합 Ci에는 위쪽 또는 긍정적인 드리프트가 발생합니다. 반대로, 평균이 m0보다 작은 m1로 아래쪽으로 이동하면, 누적 합 Ci는 아래쪽 또는 부정적인 드리프트가 발생합니다. 따라서 plot된 포인트에서 유의미한 경향이 위쪽 또는 아래쪽으로 발생하면, 이를 프로세스 평균이 변화했다는 증거로 간주하고, 일부 지정 가능한 원인에 대한 탐색을 수행해야 합니다.
물론 그림 9.2의 CUSUM 플롯은 statistical control limits가 없기 때문에 control chart가 아닙니다. CUSUM을 나타내는 방법에는 두 가지가 있습니다: tabular (또는 algorithmic) CUSUM과 V-mask form of the CUSUM. 두 가지 표현 중에서 tabular CUSUM이 더 선호됩니다.
이제 프로세스의 평균을 모니터링하기 위해 표 형식 CUSUM을 구성하는 방법을 보여줍니다. CUSUM은 개인 관측값과 합리적인 하위 그룹의 평균 모두에 대해 구성될 수 있습니다. 개인 관측값의 경우는 실제로 매우 자주 발생하므로, 이 상황을 먼저 다루겠습니다. 나중에 이러한 결과를 합리적인 하위 그룹에 대해 수정하는 방법을 보겠습니다.