포아송 과정은 단위 시간당 평균 λ개의 사건이 발생하는 확률적 시간 모델입니다.

1. Gamma 분포의 물리적 의미

정의적 관계:

• 포아송 과정에서 n번째 사건이 발생할 때까지 걸리는 시간 Tₙ은 Gamma 분포를 따름:

  Tₙ ∼ Gamma(α = n, β = 1/λ)

해석:

Tₙ = n번째 사건까지 걸리는 누적 시간

• 포아송 과정에서 사건은 평균적으로 λ개/단위시간으로 발생
• 그 중 n번째 사건까지 걸리는 총 시간은 Gamma(n, 1/λ)로 모델링됨
• 즉, 여러 개의 지수 분포(각각 단일 사건 간 도착 간격)를 더한 것

예시:

• 콜센터에서 5번째 전화가 걸려오기까지 기다리는 시간
• 부품 고장이 평균 λ로 발생할 때, 10번째 고장까지 걸리는 총 시간

2. Inverse Gamma 분포의 물리적 의미

정의적 관계:

• 만약 **T ∼ Gamma(α, β)**이면, S = 1/T ∼ InverseGamma(α, β⁻¹)

해석:

S = 단위 시간당 n개의 사건이 발생할 "평균 속도"

• 어떤 사람이 n번째 사건까지의 시간 Tₙ을 측정하고 나서,
  • 그가 추정하는 **“실제 사건 발생 속도 λ = n/Tₙ”**는 Inverse Gamma 분포를 따름
  • 즉, 시간의 역수는 사건 발생의 빈도 또는 강도를 뜻함