Outer Join에 대해 **Projection을 분배(Distribute)**는 규칙을 나타내는 Relation Expression Equivalence Rule은 다음과 같습니다. Projection 연산이 Outer Join 연산에 대해 분배되는 방식은 Outer Join의 보존 속성(preservation property)에 따라 달라집니다.

1. 기본 정의

Outer Join은 세 가지 유형이 있습니다:

1. Left Outer Join (⟕): 왼쪽 릴레이션의 모든 튜플을 보존.
2. Right Outer Join (⟖): 오른쪽 릴레이션의 모든 튜플을 보존.
3. Full Outer Join (⟗): 양쪽 릴레이션의 모든 튜플을 보존.

Projection은 특정 속성만 선택하는 연산이므로, Projection이 Outer Join에 미치는 영향을 고려해야 합니다.

2. Projection 분배 규칙

a. Left Outer Join (⟕)

Projection 연산이 Left Outer Join에 대해 분배될 때의 조건은 다음과 같습니다:

$$ \pi_{A}(R) \;\text{⟕}\; \pi_{B}(S) \neq \pi_{A \cup B}(R \;\text{⟕}\; S) $$

• 이유: Left Outer Join은 R의 모든 튜플을 보존해야 하며, S와 매칭되지 않는 튜플도 결과에 포함됩니다. Projection은 이러한 보존된 튜플에서 정보를 잃을 수 있습니다.
• 따라서, Left Outer Join에서는 Projection을 Outer Join 외부로 분배할 수 없습니다.

일반적인 분배 규칙:

• Projection을 분배하려면, Projection 속성에 Join 조건에 필요한 속성들이 반드시 포함되어야 합니다.

$$ \pi_{X}(R \;\text{⟕}\; S) = \pi_{X}(\pi_{X \cup Y}(R) \;\text{⟕}\; \pi_{Y \cup Z}(S)) $$

• X: 최종 결과에 필요한 속성 집합.
• Y, Z: Join 조건에서 필요한 속성 집합.